Question

（2012•武昌区模拟）平面区域D由以点A（1，3），B（5，2），C（3，1）为顶点的三角形内部及边界组成，若在D上有无穷多个点（x，y）使目标函数z=x+my取得最大值，则m=（　　）

• A．4
• B．-2
• C．-

  1

  2

  或

  1

  4

• D．-2或4

Answer 1

分析：分m＞0和m＜0时两种情况加以讨论，分别将目标函数对应的直线l进行平移，可得它们与边AB或BC重合时，在D上有无穷多个点（x，y）使目标函数达最大值，由此结合直线斜率公式，不难得到m的值．

解答：解：①当m＞0时，直线l：z=x+my的斜率为负数，
当直线l越向上平移，目标函数z的值越大，
若l与直线AB平行，将它向上平移至与AB重合，目标函数z的达到最大值
此时AB上任意一点坐标代入，都可得到z的最大值
k_AB=

2-3

5-1

=-

1

4

，得-

1

m

=-

1

4

，m=4
∴z=x+4y的最大值为13，线段AB上任意一点坐标都是最优解
②当m＜0时，直线l：z=x+my的斜率为正数，
因为z与直线l在y轴上的截距符号相反，所以当直线l越向下平移，
目标函数z的值越大，
若l与直线BC平行，将它向下平移至与BC重合，目标函数z的达到最大值
此时BC上任意一点坐标代入，都可得到z的最大值
k_BC=

1-2

3-5

=

1

2

，得-

1

m

=

1

2

，m=-2
∴z=x-2y的最大值为1，线段BC上任意一点坐标都是最优解
综上所述，得m=-2或4
故选D

点评：本题给出平面区域，求使目标函数的最优解有无穷多个时参数m的值，着重考查了直线的斜率和简单的性质规划等知识，属于基础题．