Question

已知f(x)是二次函数，f′(x)是它的导函数，且对任意的x∈R，f′(x)=f(x+1)+x²恒成立．
(Ⅰ)求f(x)的解析表达式；
(Ⅱ)设t＞0，曲线C：y=f(x)在点P(t，f(t))处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的最小值．

Answer 1

解：(Ⅰ)设f(x)=ax²+bx+c（其中a≠0） 则f′(x)=2ax+b，
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c=ax²+(2a+b)x+a+b+c，
由已知，得2ax+b=(a+1)x²+(2a+b)x+a+b+c，
∴，解得：a=-1，b=0，c=1，
∴f(x)=-x²+1。
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，P(t，1-t²)，切线l的斜率k=f′(t)=-2t，
切线l的方程为y-（1-t²）=-2t（x-t），即y=2tx+t²+1，
从而l与x轴的交点为，l与y轴的交点为，
∴（其中t＞0），
∴，
当时，S′(t)＜0，S(t)是减函数；
当时，S′(t)＞0，S(t)是增函数，
∴。