Question

20．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，将△CBD沿 BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD
（Ⅰ）求证：AB⊥DE
（Ⅱ）若点F为 BE的中点，求三棱锥E-AFD的侧面积．

Answer 1

分析 （I）要证：AB⊥DE，容易推出AB⊥BD，可证明AB⊥平面EBD即可．
（Ⅱ）判断三棱锥各个侧面的形状，求出相应的面积即可．

解答 （I）证明：在△ABD中，
∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°
∴$BD=\sqrt{A{B^2}+A{D^2}-2AB•2ADcos∠DAB}=2\sqrt{3}$
∴AB²+BD²=AD²，
∴AB⊥DB，
又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD=BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面EBD，
∵DE?平面EBD，
∴AB⊥DE．
（Ⅱ）∵AB⊥DE，平面EBD⊥平面ABD
∴DE⊥平面ABD，
∴DE⊥AD，DE⊥AB，DE⊥BD，
则S_△ADE=$\frac{1}{2}×4×2=4$，
∵点F为 BE的中点，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$S_△DEB=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\sqrt{3}$，
∵AB⊥平面EBD，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_△ABE=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4×2=2$，
则三棱锥E-AFD的侧面积S=S_△ADE+S_△DEF+S_△AEF=4+$\sqrt{3}+2$=6+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查空间直线垂直的判断一件三棱锥侧面积的求解，利用线面垂直的性质定理是解决本题的关键．