题目内容
在△ABC中，已知
•
=9，sinB=cosAsinC，S△ABC=6，P为线段AB上的一点，且
=x•
+y•
，则
+
的最小值为
+
+
．
| AB |
| AC |
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
|
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 7 |
| 12 |
| ||
| 3 |
| 7 |
| 12 |
| ||
| 3 |
分析：设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 C=90°，再由
•
=9，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得
=λ
+(1-λ)
=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量
=
，
=
，
=(1，0)，
=(0，1)推出x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，而利用
+
利用基本不等式求解最小值．
| AB |
| AC |
| CP |
| CA |
| CB |
| ||
|
|
| e1 |
| ||
|
|
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
解答：解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵
•
=9，S△ABC=6
∴bccosA=9，
bcsinA=6
∴tanA=
，根据直角三角形可得sinA=
，cosA=
，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得
=λ
+(1-λ)
=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）
设
=
，
=
，则|
|=|
|=1，
=(1，0)，
=(0，1)
由
=x•
+y•
=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12
+
=
(
+
) (4x+3y)=
（7+
+
）≥
+
故所求的最小值为
+
．
故答案为：
+
．
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵
| AB |
| AC |
∴bccosA=9，
| 1 |
| 2 |
∴tanA=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得
| CP |
| CA |
| CB |
设
| ||
|
|
| e1 |
| ||
|
|
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
由
| CP |
| ||
|
|
| ||
|
|
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
| 1 |
| 12 |
| 3y |
| x |
| 4x |
| y |
| 7 |
| 12 |
| ||
| 3 |
故所求的最小值为
| 7 |
| 12 |
| ||
| 3 |
故答案为：
| 7 |
| 12 |
| ||
| 3 |
点评：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4-4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值．
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