Question

设函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2（ω＞2）的最小正周期为

2π

3

．
（1）求ω的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向右平移

π

2

个单位长度，得到了函数y=g（x）的图象，求函数y=g(x)，x∈[-

π

3

，

π

12

]的值域．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式求出函数f（x）=

2

 sin（2ωx+

π

4

 ），根据周期为

2π

3

，求出
ω的值．
（2）根据f（x）=

2

 sin（3x+

π

4

 ），可得g（x）=

2

 cos（3x+

π

4

 ），根据x的范围求出3x+

π

4

 的范围，
从而得到g（x）的值域．

解答：解：（1）函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2=1+sin2ωx+2cos²ωx-2=sin2ωx+cos2ωx
=

2

 sin（2ωx+

π

4

 ），
由T=

2π

ω

=

2π

3

，∴ω=

3

2

．
（2）由（1）可知，f（x）=

2

 sin（3x+

π

4

 ），故g（x）=

2

 sin[3（x-

π

2

 ）+

π

4

]=

2

 cos（3x+

π

4

 ），
∵-

π

3

≤ x  ≤

π

12

，∴-

3π

4

≤3 x +

π

4

≤

π

2

，∴-

2

2

≤cos（3x+

π

4

 ）≤1，
-1≤

2

 cos（3x+

π

4

 ）≤

2

，故函数g（x）的值域为[-1，

2

]．

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、定义域、值域，求出g（x）=

2

 cos（3x+

π

4

 ），是
解题的关键和难点．