题目内容

设函数f(x)=
1
3
ax3+bx2+cx(a<b<c),其图象在点A(1,f(1)),B(m,f(m))处的切线的斜率分别为0,-a.
(1)求证:0≤
b
a
<1

(2)若函数f(x)的递增区间为[s,t],求|s-t|的取值范围;
(3)若当x≥k时(k是与a,b,c无关的常数),恒有f′(x)+a<0,试求k的最小值.
分析:(1)利用函数图象在A,B两点处的切线的斜率,可以得到f'(1)=0,f'(m)=-a,然后利用a,b,c的大小关系,确定a,c的符号,通过消元得到am2+2bm-2b=0,利用二次方程的根的情况,可得0≤
b
a
<1

(2)由导数的符号确定函数的单调增区间,利用二次方程根与系数的关系得到|s-t|关于a,b的关系式,即可得|s-t|的取值范围;(3)由f'(x)+a<0得ax2+2bx-2b<0,通过转换主元,利用不等式恒成立的条件得到x的范围,从而得到k的范围.
解答:解:(1)f'(x)=ax2+2bx+c,由题意及导数的几何意义得
f'(1)=a+2b+c=0①f'(m)=am2+2bm+c=-a②
又a<b<c,可得3a<a+2b+c<3c,即3a<0<3c,故a<0,c>0,
由①得c=-a-2b,代入a<b<c,再由a<0,得-
1
3
b
a
<1

将c=-a-2b代入②得am2+2bm-2b=0,即方程ax2+2bx-2b=0有实根.
故其判别式△=4b2+8ab≥0得
b
a
≤-2
,或
b
a
≥0

由③,④得0≤
b
a
<1

(2)由f'(x)=ax2+2bx+c的判别式△'=4b2-4ac>0,
知方程f'(x)=ax2+2bx+c=0(*)有两个不等实根,设为x1,x2
又由f'(1)=a+2b+c=0知,x1=1为方程(*)的一个实根,则有根与系数的关系得x1+x2=-
2b
a
x2=-
2b
a
-1<0<x1

当x<x2或x>x1时,f'(x)<0,当x2<x<x1时,f'(x)>0,
故函数f(x)的递增区间为[x2,x1],由题设知[x2,x1]=[s,t],
因此|s-t|=|x1-x2|=2+
2b
a
,由(Ⅰ)知0≤
b
a
<1
得|s-t|的取值范围为[2,4);
(3)由f'(x)+a<0,即ax2+2bx+a+c<0,即ax2+2bx-2b<0,
因为a<0,则x2+2•
b
a
x-2•
b
a
>0
,整理得(2x-2)
b
a
+x2>0

g(
b
a
)=(2x-2)
b
a
+x2
,可以看作是关于
b
a
的一次函数,由题意g(
b
a
)>0
对于0≤
b
a
<1
恒成立,
g(-1)≥0
g(0)>0
x2+2x-2≥0
x2>0

x≤-
3
-1
x≥
3
-1

由题意,[k,+∞)⊆(-∞,-
3
-1]∪[
3
-1,+∞)

k≥
3
-1
,因此k的最小值为
3
-1
点评:考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调区间,掌握不等式恒成立时所取的条件.是个难题.是个难题.
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