题目内容
设函数f(x)=1 |
3 |
(1)求证:0≤
b |
a |
(2)若函数f(x)的递增区间为[s,t],求|s-t|的取值范围;
(3)若当x≥k时(k是与a,b,c无关的常数),恒有f′(x)+a<0,试求k的最小值.
分析:(1)利用函数图象在A,B两点处的切线的斜率,可以得到f'(1)=0,f'(m)=-a,然后利用a,b,c的大小关系,确定a,c的符号,通过消元得到am2+2bm-2b=0,利用二次方程的根的情况,可得0≤
<1,
(2)由导数的符号确定函数的单调增区间,利用二次方程根与系数的关系得到|s-t|关于a,b的关系式,即可得|s-t|的取值范围;(3)由f'(x)+a<0得ax2+2bx-2b<0,通过转换主元,利用不等式恒成立的条件得到x的范围,从而得到k的范围.
b |
a |
(2)由导数的符号确定函数的单调增区间,利用二次方程根与系数的关系得到|s-t|关于a,b的关系式,即可得|s-t|的取值范围;(3)由f'(x)+a<0得ax2+2bx-2b<0,通过转换主元,利用不等式恒成立的条件得到x的范围,从而得到k的范围.
解答:解:(1)f'(x)=ax2+2bx+c,由题意及导数的几何意义得
f'(1)=a+2b+c=0①f'(m)=am2+2bm+c=-a②
又a<b<c,可得3a<a+2b+c<3c,即3a<0<3c,故a<0,c>0,
由①得c=-a-2b,代入a<b<c,再由a<0,得-
<
<1③
将c=-a-2b代入②得am2+2bm-2b=0,即方程ax2+2bx-2b=0有实根.
故其判别式△=4b2+8ab≥0得
≤-2,或
≥0④
由③,④得0≤
<1;
(2)由f'(x)=ax2+2bx+c的判别式△'=4b2-4ac>0,
知方程f'(x)=ax2+2bx+c=0(*)有两个不等实根,设为x1,x2,
又由f'(1)=a+2b+c=0知,x1=1为方程(*)的一个实根,则有根与系数的关系得x1+x2=-
,x2=-
-1<0<x1,
当x<x2或x>x1时,f'(x)<0,当x2<x<x1时,f'(x)>0,
故函数f(x)的递增区间为[x2,x1],由题设知[x2,x1]=[s,t],
因此|s-t|=|x1-x2|=2+
,由(Ⅰ)知0≤
<1得|s-t|的取值范围为[2,4);
(3)由f'(x)+a<0,即ax2+2bx+a+c<0,即ax2+2bx-2b<0,
因为a<0,则x2+2•
x-2•
>0,整理得(2x-2)
+x2>0,
设g(
)=(2x-2)
+x2,可以看作是关于
的一次函数,由题意g(
)>0对于0≤
<1恒成立,
故
即
得x≤-
-1或x≥
-1,
由题意,[k,+∞)⊆(-∞,-
-1]∪[
-1,+∞),
故k≥
-1,因此k的最小值为
-1.
f'(1)=a+2b+c=0①f'(m)=am2+2bm+c=-a②
又a<b<c,可得3a<a+2b+c<3c,即3a<0<3c,故a<0,c>0,
由①得c=-a-2b,代入a<b<c,再由a<0,得-
1 |
3 |
b |
a |
将c=-a-2b代入②得am2+2bm-2b=0,即方程ax2+2bx-2b=0有实根.
故其判别式△=4b2+8ab≥0得
b |
a |
b |
a |
由③,④得0≤
b |
a |
(2)由f'(x)=ax2+2bx+c的判别式△'=4b2-4ac>0,
知方程f'(x)=ax2+2bx+c=0(*)有两个不等实根,设为x1,x2,
又由f'(1)=a+2b+c=0知,x1=1为方程(*)的一个实根,则有根与系数的关系得x1+x2=-
2b |
a |
2b |
a |
当x<x2或x>x1时,f'(x)<0,当x2<x<x1时,f'(x)>0,
故函数f(x)的递增区间为[x2,x1],由题设知[x2,x1]=[s,t],
因此|s-t|=|x1-x2|=2+
2b |
a |
b |
a |
(3)由f'(x)+a<0,即ax2+2bx+a+c<0,即ax2+2bx-2b<0,
因为a<0,则x2+2•
b |
a |
b |
a |
b |
a |
设g(
b |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
a |
b |
a |
故
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得x≤-
3 |
3 |
由题意,[k,+∞)⊆(-∞,-
3 |
3 |
故k≥
3 |
3 |
点评:考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调区间,掌握不等式恒成立时所取的条件.是个难题.是个难题.
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