题目内容

(本小题满分10分)

如图,⊙O内切于△ABC的边于D,E,F,AB=AC,连接AD交⊙O于点H,直线HF交BC的延长线于点G。

(1)求证:圆心O在直线AD上;

(2)求证:点C是线段GD的中点。

 

【答案】

(1) 

又△ABC是等腰三角形,所以AD是∠CAB的角分线

∴圆心O在直线AD上。(2))连接DF,由(I)知,DH是⊙O的直径, ∴∠DFH=90°,∴∠FDH+∠FHD=90°,又∠G+∠FHD=90°,∴∠FDH=∠G,又⊙O与AC相切于点F ,∴∠AFH=∠GCF=∠FHD  ∴∠GCF=∠G,∴CG=CF=CD,∴点C是线段GD的中点。

【解析】

试题分析:(I)证明:

 

又△ABC是等腰三角形,所以AD是∠CAB的角分线

∴圆心O在直线AD上。……………5分

(II)连接DF,由(I)知,DH是⊙O的直径,

∴∠DFH=90°,∴∠FDH+∠FHD=90°

又∠G+∠FHD=90°,∴∠FDH=∠G

又⊙O与AC相切于点F 

∴∠AFH=∠GCF=∠FHD  ∴∠GCF=∠G

∴CG=CF=CD

∴点C是线段GD的中点。   ………………10分

考点:圆的切线的性质定理证明。

点评:本题利用了切线的性质,四边形的内角和为360度及圆周角定理求解.属于基础题型。

 

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