Question

（1）如果x（1-x）⁴+x²（1+2x）^k+x³（1+3x）¹²展开式中x⁴的系数是144，求正整数k的值；
（2）求(

1

x

+x-1)5展开式中含x一次幂的项．

Answer 1

分析：（1）求出各式的展开式中x⁴的系数依次为-4，C_k²•2²，C₁₂¹•3，据题应有-4+4C_k²+36=144，解方程求的k值．
（2）(

1

x

+x-1)5=(x+

1

x

)5-5(x+

1

x

)4+10(x+

1

x

)3-10(x+

1

x

)2+5(x+

1

x

)-1，考查各个式子的通项，
求出各部分含x的项，求和即得结果．

解答：解：（1）x（1-x）⁴，x²（1+2x）^k，x³（1+3x）¹²的展开式中x⁴的系数依次为-4，C_k²•2²，C₁₂¹•3，
据题应有-4+4C_k²+36=144，解得k=8．
（2）(

1

x

+x-1)5=(x+

1

x

)5-5(x+

1

x

)4+10(x+

1

x

)3-10(x+

1

x

)2+5(x+

1

x

)-1，
分别计算各项中x项的系数，(x+

1

x

)5中通项Tr+1=

C

r 5

x5-r•(

1

x

)r=

C

r 5

•x5-2r，
r=2时得x项为T₃=C₅²•x=10x；  (x+

1

x

)3中通项为T_r+1=C₃^rx^3-2r，r=1时得x项为 T₂=C₃¹x=3x，
x+

1

x

中x项即为x；在(x+

1

x

)4，(x+

1

x

)2展开式中不含x项，故所求含x的项为10x+10•3x+5x=45x．

点评：本题考查二项式系数的性质，二项式的展开式的通项公式，求出所有含x的项是解题的关键．