题目内容
(本小题满分12分)A(理)已知函数,其中.
(1)若存在,使得成立,求实数的取值范围;
(2)求函数的值域.
【答案】
(1)实数的取值范围是;
(2)
【解析】(1) 方法一:存在,使得,
即存在,使得,
当时,满足要求;
当时,满足要求;
当时,,解得
综上得, ------4分
方法二:存在,使得,即存在,使得
显然,分离参数得,∴
而,其中
∴
∴ ------4分
(2)
∴ =
= ------6分
设,,则转化为求函数的值域.
当时,,此时函数在上为减函数,
∴函数的值域为,即
当时,
此时函数在上为减函数,
∴函数的值域为,即 ------8分
当时,
令,解得或(舍).
当变化时,与的变化情况如下表:
0 |
|||
极小值 |
若,即 时,函数在上为减函数.
∴函数的值域为,即
若,即 时,函数在上递减,在上递增
∴
函数在上的最大值为与中的较大者.
∵,,∴
∴当时,,此时;
当时,,此时;
当时,,此时 ------11分
综上,
当时,函数的值域为;
当时,函数的值域为;
当时,函数的值域为 ------12分
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