题目内容

已知点动点满足:

1)求动点的轨迹的方程;

2)已知圆W 的切线与轨迹相交于PQ两点,求证:PQ为直径的圆经过坐标原点.

 

1;(2)证明详见解析.

【解析】

试题分析:(1)针对点的位置:在线段轴上且在线段、点轴上进行分类确定点的轨迹,前两种只须简单的检验即可,当点轴上时,在中,应用余弦定理得,化简得到,再根据圆锥曲线的定义,可知动点在以为两焦点的椭圆上,由椭圆的相关参数即可写出椭圆的方程,最后综合各种情况写出所求轨迹的方程;(2)先验证直线斜率不存在与斜率为0的情形,然后再证明直线斜率存在且不为0的情况,此时先设直线,设点,联立直线与轨迹的方程,消去得到,进而求出,得到,利用直线与圆相切得到,代入式子中,即可得到,从而问题得证.

试题解析:(1)①当点在线段上时

不存在或,均不满足题目条件 1

②当点轴上且在线段外时

,设

可得 3

③当点轴上时

中,由余弦定理得

,即动点在以为两焦点的椭圆上

方程为:

综和①②③可知:动点的轨迹的方程为: 6

2当直线的斜率不存在时

直线与圆相切,故切线方程为

切线方程立方程组

可求得

则以为直径的圆的方程为经过坐标原点

当直线的斜率为零时

①类似,

可求得为直径的圆的方程为经过坐标原点 10

当直线的斜率存在且不为零时设直线的方程为

消去

,则

直线和圆相切

圆心到直线的距离,整理得

式代入式,得,显然以为直径的圆经过坐标原点

综上可知,以为直径的圆经过坐标原点 14.

考点:1.轨迹的求法;2.椭圆的标准方程;3.直线与圆的位置关系;4.直线与圆锥曲线的综合问题.

 

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