题目内容
已知点、,动点满足:,且
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)已知圆W: 的切线与轨迹相交于P,Q两点,求证:以PQ为直径的圆经过坐标原点.
(1);(2)证明详见解析.
【解析】
试题分析:(1)针对点的位置:点在线段上、点在轴上且在线段外、点不在轴上进行分类确定点的轨迹,前两种只须简单的检验即可,当点不在轴上时,在中,应用余弦定理得,化简得到,再根据圆锥曲线的定义,可知动点在以为两焦点的椭圆上,由椭圆的相关参数即可写出椭圆的方程,最后综合各种情况写出所求轨迹的方程;(2)先验证直线斜率不存在与斜率为0的情形,然后再证明直线斜率存在且不为0的情况,此时先设直线,设点,联立直线与轨迹的方程,消去得到,进而求出及,得到,利用直线与圆相切得到,代入式子中,即可得到,从而问题得证.
试题解析:(1)①当点在线段上时
不存在或,均不满足题目条件 1分
②当点在轴上且在线段外时,
,设
由可得∴∴ 3分
③当点不在轴上时,
在中,由余弦定理得
,即动点在以为两焦点的椭圆上
方程为:()
综和①②③可知:动点的轨迹的方程为: 6分
(2)①当直线的斜率不存在时
∵直线与圆相切,故切线方程为或
切线方程与联立方程组
可求得为或为
则以为直径的圆的方程为,经过坐标原点
②当直线的斜率为零时
与①类似,
可求得以为直径的圆的方程为,经过坐标原点 10分
③当直线的斜率存在且不为零时设直线的方程为
由消去得
设,则
∴
∴①
∵直线和圆相切
∴圆心到直线的距离,整理得②
将②式代入①式,得,显然以为直径的圆经过坐标原点
综上可知,以为直径的圆经过坐标原点 14分.
考点:1.轨迹的求法;2.椭圆的标准方程;3.直线与圆的位置关系;4.直线与圆锥曲线的综合问题.