题目内容
已知点
、
，动点
满足：
，且
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）已知圆W：
的切线
与轨迹相交于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆经过坐标原点
.
（1）
；（2）证明详见解析.
【解析】
试题分析：（1）针对
点的位置：点
在线段
上、点
在
轴上且在线段
外、点
不在
轴上进行分类确定
点的轨迹，前两种只须简单的检验即可，当点不在轴上时，在
中，应用余弦定理得
，化简得到
，再根据圆锥曲线的定义，可知动点
在以
为两焦点的椭圆上，由椭圆的相关参数即可写出椭圆的方程，最后综合各种情况写出所求轨迹的方程；（2）先验证直线
斜率不存在与斜率为0的情形，然后再证明直线
斜率存在且不为0的情况，此时先设直线
，设点
，联立直线与轨迹
的方程，消去
得到
，进而求出
及
，得到
，利用直线与圆相切得到
，代入
式子中，即可得到
，从而问题得证.
试题解析：（1）①当点在线段上时
不存在或
，均不满足题目条件 1分
②当点在轴上且在线段外时，
，设
由
可得
∴
∴
3分
③当点不在轴上时，
在中，由余弦定理得
，即动点在以为两焦点的椭圆上
方程为：（
）
综和①②③可知：动点的轨迹
的方程为： 6分
（2）①当直线
的斜率不存在时
∵直线
与圆
相切，故切线方程为
或
切线方程与联立方程组
可求得
为
或为
则以
为直径的圆的方程为
，经过坐标原点
②当直线
的斜率为零时
与①类似，
可求得以为直径的圆的方程为
，经过坐标原点 10分
③当直线
的斜率存在且不为零时设直线
的方程为
由
消去
得
设
，则
∴
∴
①
∵直线
和圆
相切
∴圆心到直线
的距离
，整理得
②
将②式代入①式，得
，显然以
为直径的圆经过坐标原点
综上可知，以为直径的圆经过坐标原点 14分.
考点：1.轨迹的求法；2.椭圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系；4.直线与圆锥曲线的综合问题.
学而优衔接教材南京大学出版社系列答案
