题目内容
【题目】在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且(a+c)2=b2+3ac.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若b=2,且sinB+sin(C﹣A)=2sin2A,求△ABC的面积.
【答案】解:(Ⅰ)∵(a+c)2=b2+3ac,
∴可得:a2+c2﹣b2=ac,
∴由余弦定理可得:cosB= =
=
,
∵B∈(0,π),
∴B= .
(Ⅱ)∵sinB+sin(C﹣A)=2sin2A,
∴sin(C+A)+sin(C﹣A)=2sin2A,
∴sinCcosA+cosCsinA+sinCcosA﹣cosCsinA=4sinAcosA,可得:cosA(sinC﹣2sinA)=0,
∴cosA=0,或sinC=2sinA,
∴当cosA=0时,A= ,可得c=
=
,可得S△ABC=
bc=
=
;
当sinC=2sinA时,由正弦定理知c=2a,由余弦定理可得:4=a2+c2﹣ac=a2+4a2﹣2a2=3a2,
解得:a= ,c=
,S△ABC=
acsinB=
×
×
=
【解析】(Ⅰ)整理已知等式可得a2+c2﹣b2=ac,由余弦定理可得cosB= ,结合范围B∈(0,π),可求B的值.(Ⅱ)由三角函数恒等变换的应用化简已知可得:cosA(sinC﹣2sinA)=0,可得cosA=0,或sinC=2sinA,
分类讨论,利用三角形面积公式即可计算得解.
【考点精析】解答此题的关键在于理解余弦定理的定义的相关知识,掌握余弦定理:;
;
.

【题目】某工厂为了解用电量y与气温x℃之间的关系,随机统计了5天的用电量与当天气温,得到如下统计表:
曰期 | 8月1曰 | 8月7日 | 8月14日 | 8月18日 | 8月25日 |
平均气温(℃) | 33 | 30 | 32 | 30 | 25 |
用电量(万度) | 38 | 35 | 41 | 36 | 30 |
xiyi=5446,
xi2=4538,
=
,
=
﹣
(1)请根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程.据气象預报9月3日的平均气温是 23℃,请预测9月3日的用电量;(结果保留整数)
(2)请从表中任选两天,记用电量(万度)超过35的天数为ξ,求ξ的概率分布列,并求其数学期望和方差.