Question

3．已知点P_n（x_n，y_n）是函数y=$\frac{1}{2{x}^{2}}$在第一象限内图象上的点，点P_n（x_n，y_n）在x轴上的射影为Q_n（x_n，0）．O位坐标原点，点A（3，0），且$\overrightarrow{O{Q}_{n}}$=$\frac{1}{n}$$\overrightarrow{{Q}_{n}A}$（n∈N⁺）．
（1）求{x_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$-$\frac{4n+3}{27}$，求{b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，求证：对一切正整数n≥2，有$\frac{{y}_{2}}{2{S}_{2}}$+$\frac{{y}_{3}}{3{S}_{3}}$+…+$\frac{{y}_{n}}{n{S}_{n}}$＜$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 （1）由点P_n（x_n，$\frac{1}{2{{x}_{n}}^{2}}$）在x轴上的射影为Q_n（x_n，0），且$\overrightarrow{O{Q}_{n}}$=$\frac{1}{n}$$\overrightarrow{{Q}_{n}A}$（n∈N⁺）列式求得x_n=$\frac{3}{n+1}$；
（2）把x_n，x_n+1代入b_n=$\frac{1}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$-$\frac{4n+3}{27}$，化简整理后利用数列的分组求和得{b_n}的前n项和S_n；
（3）由P_n（x_n，y_n）是函数y=$\frac{1}{2{x}^{2}}$在第一象限内图象上的点，得${y}_{n}=\frac{1}{2{{x}_{n}}^{2}}$=$\frac{（n+1）^{2}}{18}$，把$\frac{{y}_{k}}{k{S}_{k}}$放缩后裂项证得答案．

解答 （1）解：点P_n（x_n，$\frac{1}{2{{x}_{n}}^{2}}$），点A（3，0），P在x轴上的射影为Q_n（x_n，0）．
且$\overrightarrow{O{Q}_{n}}$=（x_n，0）
$\frac{1}{n}$$\overrightarrow{{Q}_{n}A}$=$\frac{1}{n}$（3-x_n，0）（n∈N⁺）．
∵$\overrightarrow{O{Q}_{n}}$=$\frac{1}{n}$$\overrightarrow{{Q}_{n}A}$（n∈N⁺）．
∴x_n=$\frac{1}{n}$（3-x_n），
即x_n=$\frac{3}{n+1}$，
∴{x_n}的通项公式x_n=$\frac{3}{n+1}$；
（2）解：x_n=$\frac{3}{n+1}$，x_n+1=$\frac{3}{n+2}$
∵令b_n=$\frac{1}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$-$\frac{4n+3}{27}$，
∴b_n=$\frac{3{n}^{2}+5n+3}{27}$
∵{n²}的前n项和：$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，
{$\frac{n}{27}$}的前n项和：$\frac{n（n+1）}{54}$，
∴{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{9}$×$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$+$\frac{5n（n+1）}{54}$$+\frac{1}{9}$n=$\frac{n（{n}^{2}+4n+6）}{27}$；
（3）证明：∵P_n（x_n，y_n）是函数y=$\frac{1}{2{x}^{2}}$在第一象限内图象上的点，
∴${y}_{n}=\frac{1}{2{{x}_{n}}^{2}}$=$\frac{（n+1）^{2}}{18}$．
对于2≤k≤n的整数k，有：
$\frac{{y}_{k}}{2{S}_{k}}=\frac{3}{2}•\frac{（k+1）^{2}}{2{k}^{2}（{k}^{2}+4k+6）}≤$$\frac{3}{2}•\frac{（k+1）^{2}}{{k}^{4}+4{k}^{3}+5{k}^{2}+2k}$=$\frac{3}{2}•\frac{1}{k（k+2）}=\frac{3}{4}（\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}）$．
∴$\frac{{y}_{2}}{2{S}_{2}}$+$\frac{{y}_{3}}{3{S}_{3}}$+…+$\frac{{y}_{n}}{n{S}_{n}}$$≤\frac{3}{4}（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$$＜\frac{3}{4}×\frac{5}{6}=\frac{5}{8}$．

点评 本题考查平面向量的坐标运算，考查了数列的分组求和，训练了裂项相消法求数列的和，对于（3）的证明，关键是放缩方法的应用，难度较大．