题目内容
(2013•东城区一模)已知点A(2,1),抛物线y2=4x的焦点是F,若抛物线上存在一点P,使得|PA|+|PF|最小,则P点的坐标为( )
分析:利用抛物线的定义,得|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|.因此问题转化为求|PA|+|PQ|取最小值时P点的坐标,再利用P、A、Q三点共线时距离最小,即可求出满足条件的P点坐标.
解答:解:根据抛物线的定义,点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离
设点P到准线l:x=-1的距离为PQ,
则所求的|PA|+|PF|最小值,即|PA|+|PQ|的最小值;
根据平面几何知识,可得当P、A、Q三点共线时|PA|+|PQ|最小,
∴|PA|+|PQ|的最小值为A到准线l的距离;
此时P的纵坐标为1,代入抛物线方程得P的横坐标为
,得P(
,1)
故选:D

设点P到准线l:x=-1的距离为PQ,
则所求的|PA|+|PF|最小值,即|PA|+|PQ|的最小值;
根据平面几何知识,可得当P、A、Q三点共线时|PA|+|PQ|最小,
∴|PA|+|PQ|的最小值为A到准线l的距离;
此时P的纵坐标为1,代入抛物线方程得P的横坐标为
1 |
4 |
1 |
4 |
故选:D
点评:本题的考点是抛物线的简单性质,主要考查抛物线的定义,考查距离最小问题,关键是利用抛物线的定义,将点P到焦点的距离转化为它到准线的距离.

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