Question

（2010•北京模拟）定义函数y=f（x）：对于任意整数m，当实数x∈(m-

1

2

，m+

1

2

)时，有f（x）=m．
（Ⅰ）设函数的定义域为D，画出函数f（x）在x∈D∩[0，4]上的图象；
（Ⅱ）若数列an=2+10(

2

5

)n（n∈N^*），记S_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求S_n；
（Ⅲ）若等比数列b_n的首项是b₁=1，公比为q（q＞0），又f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，求公比q的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数y=f（x）的定义，求出函数在区间[0，4]上的解析式，即可画出函数的图象；
（Ⅱ）根据an=2+10(

2

5

)n，可知2＜a_n＜6，求出f（a_n），在求和即可；
（Ⅲ）由f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，且b₁=1，得f（q）+f（q²）=3，分类讨论即可求得结果．

解答：解：（I）当x∈[0，

1

2

）时，f（x）=0，
当x∈[

1

2

，

3

2

）时，f（x）=1，
当x∈[

3

2

，

5

2

）时，f（x）=2，
当x∈[

5

2

，

7

2

）时，f（x）=3，
当x∈[

5

2

，4]时，f（x）=4，
∴图象如图所示，
（II）由于an=2+10•(

2

5

)n，所以f(an)=

6，n=1 4，n=2 3，n=3 2，n≥4

，
因此Sn=

6，n=1 10，n=2 2n+7，n≥3

；
（III）由f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，且b₁=1，得f（q）+f（q²）=3，
当0＜q≤1时，则q²≤q≤1，
所以f（q²）≤f（q）≤f（1）=1，
则f（q）+f（q²）≤2＜3，不合题意；
当q＞1时，则q²＞q＞1，
所以f（q²）≥f（q）≥f（1）=1．
又f（q）+f（q²）=3，
∴只可能是

f(q)=1 f(q2)=2

，即

1 2 ＜q＜ 3 2 3 2 ＜q2＜ 5 2

，
解之得

6

2

＜q＜

3

2

．

点评：本题以新定义为载体，考查分段函数的解析式的求法和图象的画法，以及数列求和问题，考查利用知识分析解决问题的能力和运算能力，读懂题意是解题的关键，属难题．