题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的右准线l₁：x=2与x轴相交于点D，右焦点F到上顶点的距离为 $数学公式$ ，点C（m，0）在线段OF上．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得 $数学公式$ ？若存在，求出l的斜率；若不存在，请说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴c=1，
∴b=1，
∴椭圆的方程 $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）知F（1，0），
假设存在直线l，设其方程为：y=k（x-1），
代入 $\text{[math]}$ ，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
而AB的方向向量为（1，k），
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，k= $\text{[math]}$ ．
故存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得 $\text{[math]}$ ，l的斜率k= $\text{[math]}$ ．
分析：（1） $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆的方程．
（2）由F（1，0），假设存在直线l，设其方程为：y=k（x-1），代入 $\text{[math]}$ ，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，再由韦达定理结合题设条件能够求出存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得 $\text{[math]}$ ，l的斜率k= $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．