题目内容
已知椭圆

(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得

【答案】分析:(1)
.
,由此能求出椭圆的方程.
(2)由F(1,0),假设存在直线l,设其方程为:y=k(x-1),代入
,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,再由韦达定理结合题设条件能够求出存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得
,l的斜率k=
.
解答:解:(1)
.
∵
,
∴c=1,
∴b=1,
∴椭圆的方程
.
(2)由(1)知F(1,0),
假设存在直线l,设其方程为:y=k(x-1),
代入
,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
设A(x1,y1)B(x2,y2),
,
,
∴
,
=
,
∵
,
而AB的方向向量为(1,k),
∴
,
∴
,
∴
,k=
.
故存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得
,l的斜率k=
.
点评:本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,椭圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.


(2)由F(1,0),假设存在直线l,设其方程为:y=k(x-1),代入



解答:解:(1)

∵

∴c=1,
∴b=1,
∴椭圆的方程

(2)由(1)知F(1,0),
假设存在直线l,设其方程为:y=k(x-1),
代入

设A(x1,y1)B(x2,y2),


∴



∵

而AB的方向向量为(1,k),
∴

∴

∴


故存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点,使得


点评:本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,椭圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.

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