题目内容
数列{an}中,
(I)若


(II)若a1>2,n≥2,n∈N,用数学归纳法证明:

【答案】分析:(I)由题意知bn+1=2bn,
,数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,由此可
,所以
.
(II)根据题设条件利用数学归纳法进行证明.
解答:解:(I)证明:
∵
,
(2分)
∵
,∴数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,(4分)
∴bn=2n,即
,得
,所以
.(6分)
(II)证明:(i)当n=2时,∵a1>2,
∴
,
∴
,
∴
,不等式成立;(8分)
(ii)假设当n=k(k≥2)时,
成立,
那么,当n=k+1时,去证明
∵
,
∴ak+1>2;
∵
,
∴
;
∴
,
所以n=k+1不等式也成立,
由(i)(ii)可知,不等式成立.(12分)
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意数学归纳法的解题步骤,注意解题的严密性.



(II)根据题设条件利用数学归纳法进行证明.
解答:解:(I)证明:
∵

(2分)
∵

∴bn=2n,即



(II)证明:(i)当n=2时,∵a1>2,
∴

∴

∴

(ii)假设当n=k(k≥2)时,

那么,当n=k+1时,去证明

∵

∴ak+1>2;
∵


∴

∴

所以n=k+1不等式也成立,
由(i)(ii)可知,不等式成立.(12分)
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要注意数学归纳法的解题步骤,注意解题的严密性.

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