题目内容
己知函数f(x)=
-1(其中a是不为0的实数),g(x)=lnx,设F(x)=f(x)+g(x).
(I )判断函数F(x)在(0,3]上的单调性;
(II)已知s,t为正实数,求证:ttex≥stet(其中e为自然对数的底数);
(III)是否存在实数m,使得函数y=f(
)+2m的图象与函数y=g(x2+1)的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)F(x)=
-1+lnx.
F′(x)=
,
①当a≤0时,F′(x)≥0,
∴F(x)在(0,3)上是增函数;
②当0<a<3时,x∈(0,a)时,F′(x)≤0,∴F(x)在(0,a)上是减函数;
x∈(a,3)时,F′(x)≥0,∴F(x)在(a,3)上是增函数.
③当a≥3时,F′(x)≤0,∴F(x)在(0,3)上是减函数.…(4分)
(Ⅱ)令a=1,则F(x)=
-1+lnx,于是F′(x)=
,
∴F(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
∴在区间(0,+∞)上F(x)有F(x)min=F(1)=0.
∵
≥F(1)=0,
即
≥0,
整理得
≥
,即
,即ttes≥stet.…(8分)
(III)由已知得
,代入整理得
.
于是题意即为直线y=m与y=
的图象有4个不同的交点.
令h(x)=
,
则
.
可绘出h(x)的大致图象如图.
由图象可知当m∈(
,
)时满足有四个不同的交点.
∴存在实数
时满足条件.…(14分)
分析:(I)求出F(x)的导函数,通过对参数a的讨论,判断出导函数的符号,进一步得到函数的单调性.
(II)先求出当a=1时F(x)的导函数,通过导函数判断出函数的单调性,求出函数的最小值,得到
≥F(1)=0,整理不等式得到所要证的不等式.
(III)由已知得
,分离出参数m,构造函数h(x),通过导数求出函数的单调性及极值,画出函数h(x)的草图,判断出m的范围.
点评:本题考查通过利用导数解决函数在闭区间上的最值问题,若含参数一般需要讨论;通过利用导数求函数的极值问题及单调性,进一步可画出函数的草图,解决两个函数的交点个数问题,属于难题.

F′(x)=

①当a≤0时,F′(x)≥0,
∴F(x)在(0,3)上是增函数;
②当0<a<3时,x∈(0,a)时,F′(x)≤0,∴F(x)在(0,a)上是减函数;
x∈(a,3)时,F′(x)≥0,∴F(x)在(a,3)上是增函数.
③当a≥3时,F′(x)≤0,∴F(x)在(0,3)上是减函数.…(4分)
(Ⅱ)令a=1,则F(x)=


∴F(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
∴在区间(0,+∞)上F(x)有F(x)min=F(1)=0.
∵

即

整理得



(III)由已知得


于是题意即为直线y=m与y=

令h(x)=

则

x | (-∞,-1) | -1 | (-1,0) | 0 | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
h′(x) | + | 0 | - | 0 | + | 0 | - |
h(x) | ↗ | 极大值![]() | ↘ | 极小值![]() | ↗ | 极大值![]() | ↘ |



∴存在实数

分析:(I)求出F(x)的导函数,通过对参数a的讨论,判断出导函数的符号,进一步得到函数的单调性.
(II)先求出当a=1时F(x)的导函数,通过导函数判断出函数的单调性,求出函数的最小值,得到

(III)由已知得

点评:本题考查通过利用导数解决函数在闭区间上的最值问题,若含参数一般需要讨论;通过利用导数求函数的极值问题及单调性,进一步可画出函数的草图,解决两个函数的交点个数问题,属于难题.

练习册系列答案
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己知函数f(x)=3cos(2x-
)(x∈R),则下列结论错误的是( )
π |
3 |
A、函数f(x)的图象的一条对称轴为x=
| ||||
B、点(-
| ||||
C、函数f(x)在区间(
| ||||
D、函数f(x)的图象可以由函数g(x)=3cos2x图象向右平移
|