题目内容

己知函数f（x）= $数学公式$ -1（其中a是不为0的实数），g（x）=lnx，设F（x）=f（x）+g（x）．
（I ）判断函数F（x）在（0，3]上的单调性；
（II）已知s，t为正实数，求证：t^te^x≥s^te^t（其中e为自然对数的底数）；
（III）是否存在实数m，使得函数y=f（ $数学公式$ ）+2m的图象与函数y=g（x²+1）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）F（x）= $\text{[math]}$ -1+lnx．
F′（x）= $\text{[math]}$ ，
①当a≤0时，F′（x）≥0，
∴F（x）在（0，3）上是增函数；
②当0＜a＜3时，x∈（0，a）时，F′（x）≤0，∴F（x）在（0，a）上是减函数；
x∈（a，3）时，F′（x）≥0，∴F（x）在（a，3）上是增函数．
③当a≥3时，F′（x）≤0，∴F（x）在（0，3）上是减函数．…（4分）
（Ⅱ）令a=1，则F（x）= $\text{[math]}$ -1+lnx，于是F′（x）= $\text{[math]}$ ，
∴F（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
∴在区间（0，+∞）上F（x）有F（x）_min=F（1）=0．
∵ $\text{[math]}$ ≥F（1）=0，
即 $\text{[math]}$ ≥0，
整理得 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，即t^te^s≥s^te^t．…（8分）
（III）由已知得 $\text{[math]}$ ，代入整理得 $\text{[math]}$ ．
于是题意即为直线y=m与y= $\text{[math]}$ 的图象有4个不同的交点．
令h（x）= $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	↗	极大值 $\text{[math]}$	↘	极小值 $\text{[math]}$	↗	极大值 $\text{[math]}$	↘

可绘出h（x）的大致图象如图．

由图象可知当m∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时满足有四个不同的交点．
∴存在实数 $\text{[math]}$ 时满足条件．…（14分）
分析：（I）求出F（x）的导函数，通过对参数a的讨论，判断出导函数的符号，进一步得到函数的单调性．
（II）先求出当a=1时F（x）的导函数，通过导函数判断出函数的单调性，求出函数的最小值，得到 $\text{[math]}$ ≥F（1）=0，整理不等式得到所要证的不等式．
（III）由已知得 $\text{[math]}$ ，分离出参数m，构造函数h（x），通过导数求出函数的单调性及极值，画出函数h（x）的草图，判断出m的范围．
点评：本题考查通过利用导数解决函数在闭区间上的最值问题，若含参数一般需要讨论；通过利用导数求函数的极值问题及单调性，进一步可画出函数的草图，解决两个函数的交点个数问题，属于难题．