题目内容

己知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[-

，

]求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应x的值．

分析：（1）利用倍角公式对函数解析式进行化简，再由正弦函数的单调增区间，求出函数的递增区间；
（2）由x∈[-

，

]求出2x-

的范围，进而求出正弦函数值的范围，再由解析式求出函数最值以及x的值．

解答：解：（1）由题意知，f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x，
∴f（x）=sin2x-cos2x=

sin(2x-

)
由2kπ-

≤2x-

≤2kπ+

得，kπ-

≤x≤kπ+

3π

∴函数的递增区间为[kπ-

，kπ+

3π

]（k∈Z）
（2）∵x∈[-

，

]，
∴2x-

∈[-

11π

，

]，
∴

sin(-

)≤y≤

sin

即-

≤y≤1
∴函数的最大值为：1．此时2x-

，即x=

．
函数的最小值为：-

，此时x=-

．

点评：本题的考点是正弦函数的单调性和求定区间上的值域，需要对解析式进行适当的化简成正弦型的函数，再利用整体思想求解．

练习册系列答案

己知函数f（x）= $数学公式$ -1（其中a是不为0的实数），g（x）=lnx，设F（x）=f（x）+g（x）．
（I ）判断函数F（x）在（0，3]上的单调性；
（II）已知s，t为正实数，求证：t^te^x≥s^te^t（其中e为自然对数的底数）；
（III）是否存在实数m，使得函数y=f（ $数学公式$ ）+2m的图象与函数y=g（x²+1）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

己知函数f（x）=

-1（其中a是不为0的实数），g（x）=lnx，设F（x）=f（x）+g（x）．
（I ）判断函数F（x）在（0，3]上的单调性；
（II）已知s，t为正实数，求证：t^te^x≥s^te^t（其中e为自然对数的底数）；
（III）是否存在实数m，使得函数y=f（

）+2m的图象与函数y=g（x²+1）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

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