题目内容

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，∠ABC=90°， $数学公式$ ，D，E分别为BB₁、AC的中点
（Ⅰ）证明：BE∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AD-C₁的大小．

（Ⅰ）证明：以BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BB₁所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设平面AC₁D的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
则由 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
取x=1，y=-1， $\text{[math]}$ ，所以法向量 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ?平面AC₁D，所以BE∥平面AC₁D．
（Ⅱ）由（1）可知，平面AC₁D的法向量为 $\text{[math]}$ ．
又平面A₁AD的法向量为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
由图可知，所求的二面角为锐角，所以二面角A₁-AD-C₁的大小为60°．
分析：（Ⅰ）以BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BB₁所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，先求平面AC₁D的一个法向量，再证明： $\text{[math]}$ 即可；
（Ⅱ）求二面角A₁-AD-C₁的大小，只需求两平面的法向量的夹角即可．
点评：本题以直三棱柱为载体，考查线面平行，考查面面角，关键是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量．