题目内容
7．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．| x | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（2）已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程．预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
附：回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$其中$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$=$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
分析 （1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．
（2）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低标准煤的数量．
解答 解：（1）由对照数据，计算得：$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}$=86，
$\overline{x}$=$\frac{3+4+5+6}{4}$=4.5（吨），$\overline{y}$=$\frac{2.5+3+4+4.5}{4}$=3.5（吨）．
已知3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：
b=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×4.52}$=0.7，
a=3.5-0.7×4.5=0.35．
因此，所求的线性回归方程为=0.7x+0.35．
（2）由（1）的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：
90-（0.7×100+0.35）=19.65（吨标准煤）．
点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题是非常符合新课标中对于线性回归方程的要求，注意通过这个题目掌握一类问题，注意数字的运算．
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