Question

已知函数f（x）=x²－4，设曲线y＝f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1,0）（nN ^*），其中x₁为正实数.

（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；

（Ⅱ）若x₁=4，记a₄ =lg，证明数列｛a_n｝成等比数列，并求数列｛x_n｝的通项公式；

（Ⅲ）若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是数列｛b_n｝的前n项和，证明T_n<3.

Answer 1

本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。

解：（Ⅰ）由题可得

所以过曲线上点的切线方程为，

即

令，得，即

显然 ∴

（Ⅱ）由，知，同理，

故

从而，即

所以，数列成等比数列，故，

即，从而

所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

∴

∴

当n=1时，显然

当n＞1时，

∴

综上，