Question

18、已知y=f（x）是二次函数，且f（0）=8及f（x+1）-f（x）=-2x+1
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数y=log₃f（x）的单调递减区间及值域．

Answer 1

分析：（1）先由二次函数，设出其解析式，再利用f（0）=8，求得c，再利用待定系数法应用f（x+1）-f（x）=-2x+1求解．
（2）由（1）写出函数f（x）的表达式，结合对数函数的性质得出其单调递减区间及值域即可．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c
由f（0）=1得c=8
∴f（x）=ax²+bx+8
∴f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+8=ax²+（2a+b）x+a+b+8
∴f（x+1）-f（x）=ax²+（2a+b）x+a+b+8-ax²-bx-8=2ax+a+b
∵f（x+1）-f（x）=-2x+1
∴2ax+a+b=-2x+1
∴2a=-2且a+b=1
∴a=-1，b=2
∴f（x）=-x²+2x+8
（2）函数y=log₃f（x）
=log₃（-x²+2x+8）
=log₃[-（x-1）²+9]
∴单调递减区间[1，4]
值域（-∞，2]．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数解析式，这类题目，一般是在定型之后，通常采用的方法．