题目内容

已知y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两相等实根,且f'(x)=2x+2
(1)求f(x)的解析式;
(2)求曲线y=f(x)与直线x+y-1=0所围成的图形的面积.
分析:(1)y=f(x)是二次函数,设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由方程f(x)=0有两相等实根,可利用判别式为0得到一个方程,再由f'(x)=2x+2得到一个关于引入系数的方程,解方程求出系数,即得f(x)的解析式;
(2)由于两个函数的交点坐标是(-3,4),(0,1),求出被积函数,利用定积分求面积的规则求曲线y=f(x)与直线x+y-1=0所围成的图形的面积即可.
解答:解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).…(2分)
b2-4ac=0
2ax+b=2x+2
得a=1,b=2,c=1…(5分)
∴f(x)=x2+2x+1…(6分)
(2)由得x=-3或x=0…(8分)
s=
0
-3
(-x+1)dx-
0
-3
(x2+2x+1)dx
…(10分)
=(-
1
2
x2+x)
.
0
-3
-(
1
3
x3+x2+x)
.
0
-3
…(12分)
=
9
2
…(13分)
点评:本题考查定积分在求面积中的应用,正确掌握定积分求面积的规则是解题的关键,本题中求函数的解析式用到了待定系数法,这是求解析式的一种常用方法.
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