Question

已知数列{an}是首项为a₁=4，公比q≠1的等比数列，S_n是其前项和，且4a₁，a₅，-2a₃成等差数列．
（1）求公比q的值；
（2）设A_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n，求A_n．

Answer 1

分析：（1）利用4a₁，a₅，-2a₃成等差数列列出等式，利用等比数列的通项公式将等式中的各项利用首项与公比表示，解方程求出公比．
（2）利用等比数列的前n项和公式求出S_n，由于S_n是一个常数列和一个等比数列的和构成的数列，利用分组法求出数列的和A_n．

解答：解：（1）∵4a₁，a₅，-2a₃成等差数列，
∴2a₅=4a₁+（-2a₃），
∵a₅=a₁q⁴，a₃=a₁q²，
∴2a₁q⁴=4a₁-2•a₁q²．
∵a₁≠0
q⁴+q²-2=0．
∴q²=1或q²=-2（ 舍去）
∵q≠1，
∴q=-1．
（2）∵Sn=

4[1-(-1)n]

1-(-1)

=2-2•(-1)n．
∴A_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n=[2-2•（-1）¹]+[2-2•（-1）²]+[2-2•（-1）³]+…+[2-2•（-1）ⁿ]
=2n-2•[（-1）+（-1）²+（-1）³+…+（-1）ⁿ]
=2n-2

-1•[1-(-1)n]

1-(-1)

=2n+1-（-1）ⁿ

点评：求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，然后根据通项的特点选择合适的求和方法．常见的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法．