Question

（2013•上海）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1-

3

x

）元．
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+

1

x

-

3

x2

）元；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

Answer 1

分析：（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是

a

x

小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1-

3

x

）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；
（2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+

1

x

-

3

x2

），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）生产a千克该产品所用的时间是

a

x

小时，
∵每一小时可获得的利润是100（5x+1-

3

x

）元，∴获得的利润为100（5x+1-

3

x

）×

a

x

元．
因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+

1

x

-

3

x2

）元．
（2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+

1

x

-

3

x2

），1≤x≤10．
设f（x）=-

3

x2

+

1

x

+5，1≤x≤10．
则f（x）=-3(

1

x

-

1

6

)2+

1

12

+5，当且仅当x=6取得最大值．
故获得最大利润为90000×

61

12

=457500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．

点评：正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．