Question

已知函数f（x）=x³+x²-2。
（1）设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁=3。若点（a_n，a_n+1²-2a_n+1）（n∈N*）在函数y=f′（x）的图象上，求证：点（n，S_n）也在y=f′（x）的图象上；
（2）求函数f（x）在区间（a-1，a）内的极值。

Answer 1

解：（1）因为
所以
由点在函数y=f′（x）的图象上
又
所以
所以
又因为
所以
故点也在函数y=f′（x）的图象上；
（2）
由得
当x变化时，，的变化情况如下表：

注意到，从而
①当，即时，f（x）的极大值为
此时f（x）无极小值；
②，即时，f（x）的极小值为f（0）=-2，此时f（x）无极大值；
③当a≤-2或-1≤a≤0或a≥1时，f（x）既无极大值又无极小值。