题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是直角梯形,
,
,
,
是正三角形,
,
是
的中点.
(1)证明:;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)设是
的中点,连接
、
,先证明
是平行四边形,再证明
平面
,即
(2)以为坐标原点,
的方向为
轴的正方向,建空间直角坐标系,分别计算各个点坐标,计算平面
法向量,利用向量的夹角公式得到直线
与平面
所成角的正弦值.
(1)证明:设是
的中点,连接
、
,
是
的中点,
,
,
,
,
,
,
是平行四边形,
,
,
,
,
,
,
,
由余弦定理得,
,
,
,
平面
,
,
;
(2)由(1)得平面
,
,
平面
平面
,
过点作
,垂足为
,
平面
,以
为坐标原点,
的方向为
轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
设是平面
的一个法向量,则
,
,
令,则
,
,
,
直线
与平面
所成角的正弦值为
.

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