题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
，
，
是正三角形，
，
是
的中点.
（1）证明：
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
（1）设
是
的中点，连接
、
，先证明
是平行四边形，再证明
平面
，即
（2）以
为坐标原点，
的方向为
轴的正方向，建空间直角坐标系，分别计算各个点坐标，计算平面
法向量，利用向量的夹角公式得到直线
与平面所成角的正弦值.
（1）证明：设是的中点，连接、，
是
的中点，
，
，
，
，
，
，
是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
由余弦定理得
，
，
，
，
平面，
，
；
（2）由（1）得平面，
，
平面
平面，
过点
作
，垂足为，
平面
，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
设
是平面的一个法向量，则
，
，
令
，则
，
，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
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