题目内容

8.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD,M、N分别为AD、BC的中点,MQ⊥PD于Q,直线PC与平面PBA所成的角的正弦为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(1)求PA的长;
(2)求二面角P-MN-Q的大小;
(3)求点M到平面PNQ的距离.

分析 (1)证明BC⊥平面PAB,可得PC与平面PBA所成的角的正弦为$\frac{BC}{PC}$,求出PC,再求出PA的长;
(2)证明∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角,即可求二面角P-MN-Q的大小;
(3)作MH⊥NQ于H点,利用等面积法求点M到平面PNQ的距离.

解答 解:(1)由PA⊥底面ABCD知,PA⊥BC,
又BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB.
故PC与平面PBA所成的角的正弦为$\frac{BC}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴PC=2$\sqrt{3}$.
Rt△PAC中,PA=$\sqrt{12-8}$=2;
(2)由M、N分别为AD、BC的中点,∴MN⊥AD,
又MN⊥PA,PA∩AD=A,∴MN⊥平面PAD.
∴MN⊥MP,MN⊥MQ,
故∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角.
由MQ⊥PD,在Rt△PMQ中,PM=$\sqrt{5}$,MQ=MDsin∠ADP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
故cos∠PMQ=$\frac{MQ}{PM}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,
∴二面角P-MN-Q的大小为arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$.
(3)作MH⊥NQ于H点,
由MN⊥PD,MQ⊥PD,∴PD⊥平面MNQ
∴平面MNQ⊥平面PNQ
又MH⊥NQ,∴MH⊥平面PNQ
点M到平面PNQ的距离即为MH.
在Rt△MNQ中,MN=2,MQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,NQ=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
∴MH=$\frac{MN•MQ}{NQ}$=$\frac{2}{3}$
∴点M到平面PNQ的距离为$\frac{2}{3}$.

点评 本题考查线面角,考查平面与平面所成的角,考查点M到平面PNQ的距离,正确找出线面角是关键.

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