Question

已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.

（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程；

（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

Answer 1

（Ⅰ）所求双曲线的方程为:   

（Ⅱ）双曲线的渐进线方程为                     

解析:

（Ⅰ）(法一)由题意知,, ,

, （1分）

解得 .  由双曲线定义得:

, 

 所求双曲线的方程为:   

 (法二) 因,由斜率之积为,可得解.

（Ⅱ）设,

 (法一)设P的坐标为, 由焦半径公式得,,，

的最大值为2,无最小值. 此时,

此时双曲线的渐进线方程为                     

(法二)设,.

(1)当时, ,

此时 .

(2)当,由余弦定理得:

  ,

,,综上,的最大值为2,但无最小值. (以下法一)