Question

已知a＞0，≠1，f（loga^x）=

a

a2-1

（x-

1

x

）．
（1）求函数f（x）的表达式，并写出函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的单调性，并给出证明；
（3）若不等式f（x²）+f（kx+1）≤0对实数x∈（1，2）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过令log_ax=t求出x，将t与x代入求出f（x）．
（2）求出f（x）的函数，通过对a分类讨论判断出导函数的符号，据导函数的符号与函数单调性的关系，判断出函数的单调性．
（3）求出f（-x），判断出函数的奇偶性，将不等式变形，利用奇偶性及单调性将符号f脱去，分离出k，求函数的范围，求出k的范围．

解答：解：（1）令log_ax=t则x=a^t
所以f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t）
f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），定义域为R

（2）f′（x）=

a

a2-1

lna（a^x+a^-x）
当a＞1时，

a

a2-1

＞0，lna＞0，
f′（x）＞0，f（x）在R上单增
当0＜a＜1时，

a

a2-1

＜0，lna＜0f′（x）＞0，f（x）在R上单增
总之f（x）在R单增

（3）∵f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x²）+f（kx+1）≤0
即为f（x²）≤f（-kx-1）
∵f（x）单增
∴不等式f（x²）+f（kx+1）≤0对实数x∈（1，2）恒成立
即为x²≤-kx-1对实数x∈（1，2）恒成立
即-k≥x+

1

x

对实数x∈（1，2）恒成立
∵x+

1

x

∈(2，

5

2

)
∴-k≥

5

2

∴k≤-

5

2

点评：本题考查知f（ax+b）求f（x）常用换元法、考查利用导数判断函数的单调性、考查利用函数的奇偶性，单调性解不等式．