题目内容
已知a＞0，设函数f(x)=| 2009x+1+2007 | 2009x+1 |
分析：要求f（x）的最大值与最小值之和，可分解为求
的最大值与最小值之和sinx的最大值与最小值之和，利用它们的单调性，求解即可．
| 2009x+1+2007 |
| 2009x+1 |
解答：解：∵f(x)=
+sinx(x∈[-a，a])
∴设g（x）=
，
则g（x）=
=2009-
，
∵2009x是R上的增函数，∴g（x）也是R上的增函数．
∴函数g（x）在[-a，a]上的最大值是g（a），最小值是g（-a）．
∵函数y=sinx是奇函数，它在[-a，a]上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0．
∴函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=g（a）+g（-a）
=2009-
+2009-
…第四项分子分母同乘以2009a
=4018-[
+
]
=4018-2=4016．
故答案为4016．
| 2009x+1+2007 |
| 2009x+1 |
∴设g（x）=
| 2009x+1+2007 |
| 2009x+1 |
则g（x）=
| 2009x+1+2009-2 |
| 2009x+1 |
| 2 |
| 2009x+1 |
∵2009x是R上的增函数，∴g（x）也是R上的增函数．
∴函数g（x）在[-a，a]上的最大值是g（a），最小值是g（-a）．
∵函数y=sinx是奇函数，它在[-a，a]上的最大值与最小值互为相反数，最大值与最小值的和为0．
∴函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=g（a）+g（-a）
=2009-
| 2 |
| 2009a+1 |
| 2 |
| 2009-a+1 |
=4018-[
| 2 |
| 2009a+1 |
| 2×2009a |
| 2009a+1 |
=4018-2=4016．
故答案为4016．
点评：本题通过求函数的最值问题，综合考查了有理数指数幂的运算性质，指数函数的单调性，正弦函数的单调性，难度比较大．
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=
+sinx，x∈[-a,a]的最大值
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