题目内容

设函数.
(1)求函数的单调区间
(2)若函数有两个零点,且,求证:.

(1)详见解析;(2)详见解析.

解析试题分析:(1)先求出函数的定义域与导数,并对导数进行因式分解,然后对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论,从而确定函数相应的单调区间;(2)先利用函数有两个零点利用进行表示,于此同时,利用分析法将所要证明的问题进行转化,转化为,并结合前面的结果,令,构造新函数利用导数来进行证明.
试题解析:(1),定义域为
,由于
①当时,对任意,则函数的单调递增区间为
②当时,令,解得
时,,当时,
此时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为
(2)因为是函数的两个零点,有

两式相减得

所以                         
又因为,当时,;当时,
故只要证即可,即证明
即证明
即证明
.令
,因为,所以,当且仅当时,
所以是增函数;又因为,所以当时,总成立.
所以原题得证.                               
考点:1.分类讨论法;2.函数的单调区间;3.函数不等式

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