题目内容
设函数.
(1)求函数的单调区间
(2)若函数有两个零点、,且,求证:.
(1)详见解析;(2)详见解析.
解析试题分析:(1)先求出函数的定义域与导数,并对导数进行因式分解,然后对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论,从而确定函数相应的单调区间;(2)先利用函数有两个零点、将利用和进行表示,于此同时,利用分析法将所要证明的问题进行转化,转化为,并结合前面的结果,令,构造新函数利用导数来进行证明.
试题解析:(1),定义域为,
,由于,,
①当时,对任意,,则函数的单调递增区间为;
②当时,令,解得,
当时,,当时,,
此时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;
(2)因为、是函数的两个零点,有,
则,,
两式相减得,
即
所以
又因为,当时,;当时,
故只要证即可,即证明,
即证明,
即证明,
设.令,
则,因为,所以,当且仅当时,
所以在是增函数;又因为,所以当时,总成立.
所以原题得证.
考点:1.分类讨论法;2.函数的单调区间;3.函数不等式
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