Question

直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两不同点：命题s：y₁y₂=-p²；命题t：直线l过抛物线的焦点，则s是t的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、既不充分也不必要条件
• D、充要条件

Answer 1

分析：根据直线过焦点，写出直线的方程，根据根和系数的关系得到结果，同理可以得到直线过抛物线的焦点．

解答：解：经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两不同点
焦点坐标（

p

2

，0）
设直线为x-

p

2

=ky
y=k（x-

p

2

）
分别代入A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得到两个分别关于x，y的一元二次方程，
用韦达定理得y ₁y ₂=-p²
故s是t的充分条件，
同理可以得到s是t的必要条件，
故s是t的充要条件，
故选D．

点评：本题考查充要条件问题，解题的关键是直线与抛物线之间的关系，利用方程联立得到方程，根据根和系数的关系得到结论．