Question

已知A（-2，0），B（2，0），点C、D依次满足．
（1）求点D的轨迹；
（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设点Q的坐标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PA，PB都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设C（x，y），D（x，y），由可得C、D两点坐标关系①，由||=2可得②，由①②消掉x，y即得所求轨迹方程，进而得其轨迹；
（2）设直线l的方程为y=k（x+2）椭圆的方程，由l与圆相切可得k²值，联立直线方程与椭圆方程消掉y并代入k²值，可用a表示出由中点坐标公式及MN的中点到y轴的距离为可得a的方程，解出即可；
（3）假设存在椭圆上的一点P（x，y），使得直线PA，PB与以Q为圆心的圆相切，易知点Q到直线PA，PB的距离相等，根据点到直线的距离公式可得一方程，再由点P在椭圆上得一方程联立可解得点P，进而得到圆的半径；
解答：解：（1）设．
=（x+2，y），则，
．
所以，点D的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．      
（2）设直线l的方程为y=k（x+2）．①
椭圆的方程；②
由l与圆相切得：．
将①代入②得：（a²k²+a²-4）x²+4a²k²x+4a²k²-a⁴+4a²=0，
又，可得，
有，
∴，解得a²=8．
∴．
（3）假设存在椭圆上的一点P（x，y），使得直线PA，PB与以Q为圆心的圆相切，
则Q到直线PA，PB的距离相等，
A（-2，0），B（2，0），PA：（x+2）y-yx-2y，PB：（x-2）y-yx+2y=0，
==d₂，
化简整理得：，
∵点P在椭圆上，∴，
解得：x=2或x=8（舍）
x=2时，，r=1，
∴椭圆上存在点P，其坐标为（2，）或（2，-），使得直线PA，PB与以Q为圆心的圆（x-1）²+y²=1相切．
点评：本题考查直线方程、圆的方程、椭圆方程及其位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，能力要求较高．