Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y=2x²上的两点，直线l是AB的垂直平分线．
（理）当直线l的斜率为

1

2

时，则直线l在y轴上截距的取值范围是______
（文）当且仅当x₁+x₂取______值时，直线l过抛物线的焦点F．

Answer 1

当直线l的斜率为

1

2

时，则直线AB的斜率为-2
设直线l的方程为 y=

1

2

x+b，AB的方程为y=-2x+c，c＞0
把AB的方程 y=-2x+c代入抛物线y=2x²化简可得 2x²+2x-c=0，
∴x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-2（x₁+x₂）+2c=2+2c
故线段AB的中点 M（-

1

2

，1+c ），由题意知，点 M（-

1

2

，1+c ）在直线l上，
∴1+c=

1

2

（-

1

2

）+b，∴c=b-

5

4

＞0，
∴b＞

5

4

，
故直线l在y轴上截距的取值范围是 (

5

4

，+∞)．
（理）∵抛物线y=2x²，即x2=

y

2

，∴p=

1

4

，
∴焦点为F(0，

1

8

)
（1）直线l的斜率不存在时，显然有x₁+x₂=0
（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b即直线l：y=kx+b
由已知得：

y1+y2 2 =k• x1+x2 2 +b y1-y2 x1-x2 =- 1 k

?

2x 21 + 2x 22 2 =k• x1+x2 2 +b 2x 21 - 2x 22 x1-x2 =- 1 k

?

x 21 + x 22 =k• x1+x2 2 +b x1+x2=- 1 2k

?

x

21

+

x

22

=-

1

4

+b≥0?b≥

1

4

即l的斜率存在时，不可能经过焦点F(0，

1

8

)
所以当且仅当x₁+x₂=0时，直线l经过抛物线的焦点F
故答案为(

5

4

，+∞)，0