Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则

AB

•

AC

=

8

3

S△ABC（其中S_△ABC为△ABC的面积）．
（1）求sin2

B+C

2

+cos2A；
（2）若b=2，△ABC的面积S_△ABC=3，求a．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的数量积运算表示出

AB

• 

AC

代入到

AB

•

AC

=

8

3

S△ABC求出sinA、cosA的值，再根据诱导公式将sin2

B+C

2

+cos2A化简为A的关系，代入即可得到答案．
（2）根据（1）中sinA的值和三角形面积公式可求得c的值，再由余弦定理可求a得值．

解答：解：（1）∵

AB

•

AC

=

8

3

S△ABC，
∴|

AB

|•|

AC

|•cosA=

8

3

•

1

2

|

AB

||

AC

|sinA
∴cosA=

4

3

sinA
∴cosA=

4

5

，sinA=

3

5

∴sin2

B+C

2

+cos2A=

1-cos(B+C)

2

+cos2A=

1+cosA

2

+2cos2A-1=

59

50

．
（2）∵sinA=

3

5

．
由S_△ABC=

1

2

bcsinA，得3=

1

2

×2c×

3

5

，解得c=5．
∴a²=b²+c²-2bccosA=4+25-2×2×5×

4

5

=13，
∴a=

13

点评：本题主要考查向量数量积的运算、三角形的面积公式、余弦定理的应用．主要考查学生的综合能力．