题目内容

16.在正三棱锥P-ABC中,M为△ABC内(含边界)一动点,且点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离成等差数列,则点M的轨迹是(  )
A.一条折线段B.一条线段C.一段圆弧D.一段抛物线

分析 先设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为d-a,d,d+a,正三棱锥P-ABC中各个侧面的面积为S,体积为V,用等体积法可d为常数且等于高h的三分之一,再作一个平面α使α平行于面PBC且它们的面面距离为d,则α与面ABC的交线即为点M的轨迹,从而解决问题.

解答 解:设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为d-a,d,d+a 
正三棱锥P-ABC中各侧面的面积为S,体积为V,
用等体积法可知:S(d-a+d+d+a )=3V
所以d为常数且等于高h的三分之一,
作一个平面α使α平行于面PBC且它们的面面距离为d,则α与面ABC的交线即为点M的轨迹.
易知M的轨迹为一条线段.
故选A.

点评 本小题主要考查等差数列、体积法的应用、轨迹方程等基础知识,考查空间想象能力思想、化归与转化思想.属于基础题.

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