题目内容
已知点A(5,0)和⊙B:(x+5)2+y2=36,P是⊙B上的动点,直线BP与线段AP的垂直平分线交于点Q.(1)证明点Q的轨迹是双曲线,并求出轨迹方程.
(2)若


【答案】分析:(1)由点Q在线段AP的垂直平分线上,知|QP|=|QA|,所以||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6.由此能求出点Q的轨迹方程.
(2)以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC,则
.由
,知
,所以平行四边形ABQC是菱形,由此能求出点Q的坐标.
解答:解:(1)∵点Q在线段AP的垂直平分线上,
∴|QP|=|QA|,
∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6.
∴点Q的轨迹是以A、B为焦点的双曲线.(4′)
其轨迹方程是
.(7′)
(2)以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC,
则
∵
,
∴
,
∴平行四边形ABQC是菱形,
∴
.(8′)
∴点Q在圆(x+5)2+y2=100上.
解方程组
.(10′)
得
或
.(12′)

点评:本题主要考查双曲线标准方程,简单几何性质,直线与双曲线的位置关系,圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.
(2)以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC,则



解答:解:(1)∵点Q在线段AP的垂直平分线上,
∴|QP|=|QA|,
∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6.
∴点Q的轨迹是以A、B为焦点的双曲线.(4′)
其轨迹方程是

(2)以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC,
则


∴

∴平行四边形ABQC是菱形,
∴

∴点Q在圆(x+5)2+y2=100上.
解方程组

得



点评:本题主要考查双曲线标准方程,简单几何性质,直线与双曲线的位置关系,圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.

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