题目内容
已知函数
(1)当t=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)设|MN|=g(t),试求函数g(t)的表达式;
(3)在(2)的条件下,若对任意的正整数n,在区间

【答案】分析:解此题的第一个突破点是第一(1)用导数的符号为正求单调区间,(2)求过切点的切线方程,找出两切点关系,再利用两点间的距离公式求解即可,(3)利用函数的单调性转化为恒成立问题.
解答:解:(1)当
,
解得x>
,或x<-
.
∴函数f(x)有单调递增区间为
,
(2)设M、N两点的横坐标分别为x1、x2,
∵
,∴切线PM的方程为:
.
又∵切线PM过点P(1,0),∴有
.
即x12+2tx1-t=0.(1)
同理,由切线PN也过点(1,0),得x22+2tx2-t=0.(2)
由(1)、(2),可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的两根,
∴


把(*)式代入,得
,
因此,函数g(t)的表达式为g(t)=
(t>0)
(3)易知g(t)在区间
上为增函数,
∴g(2)≤g(ai)(i=1,2,,m+1).
则m•g(2)≤g(a1)+g(a2)++g(am).
∵g(a1)+g(a2)++g(am)<g(am+1)对一切正整数n成立,
∴不等式m•g(2)<g(n+
)对一切的正整数n恒成立
,
即m<
对一切的正整数n恒成立
∵
,
∴
.
∴
由于m为正整数,∴m≤6.又当m=6时,存在a1=a2═am=2,am+1=16,对所有的n满足条件.
因此,m的最大值为6.
点评:本题第一问比较基础,二三问比较复杂,考切线问题,和数列问题,又渗透了恒成立思想,此题比较新,虽是压轴题但并不像以往压轴题的思路,有突破有创新,值得做.
解答:解:(1)当




∴函数f(x)有单调递增区间为


(2)设M、N两点的横坐标分别为x1、x2,
∵


又∵切线PM过点P(1,0),∴有

即x12+2tx1-t=0.(1)
同理,由切线PN也过点(1,0),得x22+2tx2-t=0.(2)
由(1)、(2),可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的两根,
∴



把(*)式代入,得

因此,函数g(t)的表达式为g(t)=

(3)易知g(t)在区间

∴g(2)≤g(ai)(i=1,2,,m+1).
则m•g(2)≤g(a1)+g(a2)++g(am).
∵g(a1)+g(a2)++g(am)<g(am+1)对一切正整数n成立,
∴不等式m•g(2)<g(n+


即m<

∵

∴

∴

由于m为正整数,∴m≤6.又当m=6时,存在a1=a2═am=2,am+1=16,对所有的n满足条件.
因此,m的最大值为6.
点评:本题第一问比较基础,二三问比较复杂,考切线问题,和数列问题,又渗透了恒成立思想,此题比较新,虽是压轴题但并不像以往压轴题的思路,有突破有创新,值得做.

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