Question

已知如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在这样的点P，使∠OQA为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把A，B两点的坐标代入抛物线方程联立方程组求解a，b的值，则抛物线的方程可求；
（2）①首先求出C点坐标，设出直线BC的方程后把B，C的坐标代入求出直线BC的方程，线段PQ的长度用P点的横坐标表示，配方后根据x的取值范围，利用二次函数的单调性求得最大值；并求出此时x的取值；
②假设存在点P，使得∠OQA为直角，由平面几何知识、利用角的关系得到△ODQ∽△QDA，由对应边成比例得到DQ²=OD•DA代入线段长度后得到关于x的方程，求解方程即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），
∴

9a+3b+2=0 36a+6b+2=0

，
解得：

a= 1 9 b=-1

，
∴所求抛物线的函数表达式是y=

1

9

x2-x+2；
（2）①∵当x=0时，y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
设直线BC的函数表达式是y=kx+b，
则有

6k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 3 b=2

，
∴直线BC的函数表达式是y=-

1

3

x+2，
∵0＜x＜6，
∴PQ=yQ-yP=(-

1

3

x+2)-(

1

9

x2-x+2)=-

1

9

x2+

2

3

x
=-

1

9

(x-3)2+1．
∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值，最大值是1；
②存在这样的点P(

3

2

，

3

4

)或P(

12

5

，

6

25

)，使∠OQA为直角．
事实上，
当∠OQA=90°时，设PQ与x轴交于点D，
∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，∴∠OQD=∠QAD，
又∵∠ODQ=∠QDA=90°，∴△ODQ∽△QDA，
∴

DQ

OD

=

DA

DQ

，即DQ²=OD•DA．
∴(-

1

3

x+2)2=x(3-x)，整理得：10x²-39x+36=0．
∴x1=

3

2

，x2=

12

5

．
∴y1=

1

9

×(

3

2

)2-

3

2

+2=

3

4

，y2=

1

9

×(

12

5

)2-

3

2

+2=

6

25

．
∴P(

3

2

，

3

4

)或P(

12

5

，

6

25

)．
∴所求的点P的坐标是P(

3

2

，

3

4

)或P(

12

5

，

6

25

)．

点评：本题考查了抛物线的方程及简单几何性质，考查了直线与抛物线的关系，考查了学生综合处理问题和解决问题的能力，考查了运算能力，解答此题的关键是借助于平面几何知识，把形的关系转化为量的关系，是压轴题．