Question

已知曲线C上任意一点到直线x=

3 2

2

的距离与它到点(

2

，0)的距离之比是

6

2

．   
（I）求曲线C的方程；
（II）设B为曲线C与y轴负半轴的交点，问：是否存在方向向量为

m

=(1，k)(k≠0)的直线l，l与曲线C相交于M、N两点，使|

BM

|=|

BN

|，且

BM

与

BN

夹角为60°？若存在，求出k值，并写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，欲曲线C的方程，设P（x，y）为曲线C上任意一点，只须求出x，y之间的关系式即可，根据点到点的距离与到直线的距离的比值，可得点的坐标满足的关系式，化简即得；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在方向向量为

m

=(1，k)(k≠0)的直线l，再设所求直线l：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值．若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y）为曲线C上任意一点，依题意

(x- 2 )2+y2

|x- 3 2 2 |

=

6

3

（2分）
化简：

x2

3

+y2=1，
∴曲线C为椭圆，其方程为

x2

3

+y2=1（4分）
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，
由 

y=kx+m x2+3y2=3

消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点G（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

，y0=kx0+m=

m

1+3k2

，

|MN|= 1+k2 |x1-x2|= 1+k2 (- 6km 1+3k2 )2-4• 3m2-3 1+3k2 = 1+k2 1+3k2 12(3k2-m2+1)

=

1+k2

1+3k2

12(3k2+1-m2)

…（ 1）
依题意：|

BM

|=|

BN

|，

BM

与

BN

夹角为60°，
∴△BMN为等边三角形，
∴k_BG•k=-1，即

m 1+3k2 +1

- 3km 1+3k2

=-

1

k

⇒m=

1+3k2

2

，…（2）
由（2）代入（1）：|MN|=3

1+k2 1+3k2

1-k2

1+3k2

=3

1+k2

1-k2

，
又∵△BMN为等边三角形，∴B到MN距离d=

3

2

|MN|，
即

3

2

1+k2

=

3 3

2

1+k2

1-k2

3

2

1+k2

=

3 3

2

1+k2

1-k2

|MN|=3

1+k2 1+3k2

1-k2

1+3k2

=3

1+k2

1-k2

解得：k2=

2

3

1

3

，m=1，
经检验k=±

3

3

，m=1使方程有解，所以直线l的方程为：y=±

3

3

+1（12分）

点评：本题主要考查了抛物线的定义的灵活应用，解决直线与圆锥曲线的相交的有关问题，一般的思路是将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于应该未知数的方程，利用韦达定理来解决．