已知等差数列{an}的各项均为正数.a1=1.且a3.a4+$\frac{5}{2}$.a11成等比数列．(Ⅰ)求an的通项公式,(Ⅱ)设bn=$\frac{1}{{a} {n}{a} {n+1}}$.求数列{bn}的前n项和Tn．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，且a₃，a₄+

\frac{5}{2}

$\frac{5}{2}$ ，a₁₁成等比数列．
（Ⅰ）求a_n的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}

$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

分析（Ⅰ）由题意知（ ${a}_{4}+\frac{5}{2}$ ）²=a₃a₁₁，从而可得公差 $d=\frac{3}{2}$ ，所以 ${a}_{n}=\frac{3n-1}{2}$ ；
（Ⅱ）将b_n= $\frac{4}{（3n-1）（3n+2）}$ 列项为 $\frac{4}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$ ，求和即得T_n的值．

解答解：（Ⅰ）设等差数列公差为d，由题意知d＞0，
∵a₃， ${a}_{4}+\frac{5}{2}$ ，a₁₁成等比数列，
∴（ ${a}_{4}+\frac{5}{2}$ ）²=a₃a₁₁，
∴ $（\frac{7}{2}+3d）^{2}=（1+2d）（1+10d）$ ，即44d²-36d-45=0，
解得 $d=\frac{3}{2}$ 或 $d=-\frac{15}{22}$ （舍去），
所以 ${a}_{n}=\frac{3n-1}{2}$ ；
（Ⅱ）因为b_n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ = $\frac{4}{（3n-1）（3n+2）}$ = $\frac{4}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$ ，
所以数列{b_n}的前n项和T_n= $\frac{4}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$ = $\frac{2n}{3n+2}$ ．

点评本题考查数列的通项公式及求前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，采用裂项相消法是解题的关键，属中档题．

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$\overrightarrow{a}$ -

$\overrightarrow{b}$ ），则向量

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