题目内容

已知数列{an}，{bn}，其中a1=
1
2
，数列{an}的前n项和Sn=n2an（n≥1），数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
＜
m-8
4
恒成立？若存在，求出m的最小值；
（Ⅲ）若数列{cn}满足cn=
1
nan
，n为奇数
bn，n为偶数
当n是偶数时，求数列{cn}的前n项和Tn．
（Ⅰ）因为Sn=n2an（n≥1），
当n≥2时，Sn-1=（n-1）2an-1．
所以an=Sn-Sn-1=n2an-（n-1）2an-1．
所以（n+1）an=（n-1）an-1．
即
an
an-1
=
n-1
n+1
．
又a1=
1
2
，
所以an=
an
an-1
•
an-1
an-2
•
an-2
an-3
••
a3
a2
•
a2
a1
•a1=
n-1
n+1
•
n-2
n
•
n-3
n-1
••
2
4
•
1
3
•
1
2
=
1
n(n+1)
．
当n=1时，上式成立
因为b1=2，bn+1=2bn，
所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2n．
则1+
1
b1
+
1
b2
++
1
bn-1
=1+
1
2
+
1
22
++
1
2n-1
=2-
1
2n-1
．
假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+
1
b1
+
1
b2
++
1
bn-1
＜
m-8
4
恒成立，
即2-
1
2n-1
＜
m-8
4
恒成立．
由
m-8
4
≥2，解得m≥16．
所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有1+
1
b1
+
1
b2
++
1
bn-1
＜
m-8
4
恒成立．此时m的最小值为16．
（Ⅲ）当n是奇数时，Tn=[
1
a1
+
1
3a3
++
1
nan
]+(b2+b4++bn-1)
=（2+4++n+1）+（22+24++2n-1）=
2+n+1
2
•
n+1
2
+
4(1-4
n-1
2
)
1-4

=
n2+4n+3
4
+
4
3
(2n-1-1)．
当n是偶数时，Tn=[
1
a1
+
1
3a3
++
1
(n-1)an-1
]+(b2+b4++bn)
=（2+4++n）+（22+24++2n）=
2+n
2
•
n
2
+
4(1-4
n
2
)
1-4
=
n2+2n
4
+
4
3
(2n-1)．
因此Tn=
n2+4n+3
4
+
4
3
(2n-1-1)，当n为奇数时
n2+2n
4
+
4
3
(2n-1)，??当n为偶数时.
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1＜0，
an+1
an
=
1
2
，则数列{an}是（　　）
已知数列{an}满足：a1=1，nan+1=2（n十1）an+n（n+1），（n∈N*），
（I）若bn=
ann
+1，试证明数列{bn}为等比数列；
（II）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn．
（2013•顺义区二模）已知数列{an}中，an=-4n+5，等比数列{bn}的公比q满足q=an-an-1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|bn|=（　　）
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1，则数列{an}的通项公式为
an=
5
      n=1
2n+2
    n≥2
an=
5
      n=1
2n+2
    n≥2
．
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an=
2n
2n
．

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