Question

抛物线y=ax²的焦点恰好为双曲线y²-x²=2的一个焦点，则a=

1

8

或-

1

8

．

Answer 1

分析：将双曲线化成标准方程，可得它的焦点在y轴且a²=b²=2，得它的焦点坐标为（0，2）或（0，-2）．抛物线y=ax²化成标准方程，得它的焦点为F（0，

1

4a

），结合题意得

1

4a

=2或

1

4a

=-2，解之即得实数a的值．

解答：解：双曲线y²-x²=2化成标准方程，得

y2

2

-

x2

2

=1
∴双曲线的焦点在y轴，且a²=b²=2
因此双曲线的半焦距c=

a2+b2

=2，得焦点坐标为（0，2）或（0，-2）
∵抛物线y=ax²即x²=

1

a

y，得它的焦点为F（0，

1

4a

），且F为双曲线的一个焦点
∴

1

4a

=2或

1

4a

=-2，解之得a=

1

8

或-

1

8

故答案为：

1

8

或-

1

8

点评：本题给出抛物线的焦点恰好是双曲线两个焦点中的一个，求参数a的值，着重考查了抛物线的方程和双曲线的简单几何性质等知识，属于基础题．