Question

14．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），点A在直线l上．
（Ⅰ）求点A对应的参数t；
（Ⅱ）若曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），直线l与曲线C交于M、N两点，求|MN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化点A的极坐标为直角坐标，可得t值；
（Ⅱ）分别可得曲线C和直线l的普通方程，由弦长公式可得．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得x=ρcosθ=$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$=1，y=ρsinθ=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$=1，
∴点A的直角坐标为（1，1），令$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=1，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=1，
可解得点A对应的参数t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）消去参数θ可得曲线C普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
同理可得直线l的普通方程为y=2-x，
联立方程消并整理可得5x²-16x+12=0，
设M、N两点的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），
由韦达定理可得x₁+x₂=$\frac{16}{5}$，x₁x₂=$\frac{12}{5}$，
由弦长公式可得|MN|=$\sqrt{（1+{1}^{2}）[（\frac{16}{5}）^{2}-4×\frac{12}{5}}]$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$

点评 本题考查椭圆的参数方程，涉及直线的参数方程以及弦长公式，属中档题．