题目内容

18.设命题p:函数f(x)=lg(x2+ax+1)的定义域为R;命题q:函数f(x)=x2-2ax-1在(-∞,-1]上单调递减.
(1)若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数a的取值范围;
(2)若关于x的不等式(x-m)(x-m+5)<0(m∈R)的解集为M;命题p为真命题时,a的取值集合为N.当M∪N=M时,求实数m的取值范围.

分析 (1)先分别求出p真,q真时的x的范围,再通过讨论p真q假或p假q真的情况,从而求出a的范围;(2)根据M、N的关系,得到不等式组,解出即可.

解答 解:(1)若p真:即函数f(x)的定义域为R
∴x2+ax+1>0对?x∈R恒成立,
∴△=a2-4<0,解得:-2<a<2,
若q真,则a≥-1,
∵命题“p∨q”为真,“p∧q”为假∴p真q假或p假q真
∵$\left\{\begin{array}{l}{-2<a<2}\\{a<-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥2}\\{a≥-1}\end{array}\right.$,解得:-2<a<-1或a≥2.
(2)∵M∪N=M∴N⊆M,
∵M=(m-5,m),N=(-2,2)
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m-5≤-2}\\{m≥2}\end{array}}\right.$,解得:2≤m≤3.

点评 本题考查了集合之间的关系,考查复合命题的性质,本题是一道中档题.

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