题目内容
（2010•新疆模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=
．
（Ⅰ）求cosC，cosB的值；
（Ⅱ）若
•
=
，求边AC的长．
| 3 |
| 4 |
（Ⅰ）求cosC，cosB的值；
（Ⅱ）若
| BA |
| BC |
| 27 |
| 2 |
分析：（Ⅰ）由题意可得 cosC=cos2A，利用二倍角公式求出cosC=
，再由同角三角函数的基本关系求出sinC 和 sinA 的值，由cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，
运算求得结果．
（Ⅱ）由
•
=
求得 ac=24，再由
=
，C=2A，可得 c=2acosA=
a，姐方程求得a、c的值，再利用余弦定理求出b 的值，即为所求．
| 1 |
| 8 |
运算求得结果．
（Ⅱ）由
| BA |
| BC |
| 27 |
| 2 |
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
| 3 |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）由题意可得 cosC=cos2A=2cos2A-1=
，…1分
故 sinC=
．…2分
由 cosA=
得 sinA=
．…3分
∴cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=
．…4分
（Ⅱ）∵
•
=
，
∴ac•cosB=
，ac=24．…6分
∵
=
，C=2A，
∴c=2acosA=
a，
解得 a=4，c=6，…8分
再由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accosB=25，故b=5．
即边AC的长为 5． …10分
| 1 |
| 8 |
故 sinC=
| ||
| 8 |
由 cosA=
| 3 |
| 4 |
| ||
| 4 |
∴cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=
| 9 |
| 16 |
（Ⅱ）∵
| BA |
| BC |
| 27 |
| 2 |
∴ac•cosB=
| 27 |
| 2 |
∵
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
∴c=2acosA=
| 3 |
| 2 |
解得 a=4，c=6，…8分
再由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accosB=25，故b=5．
即边AC的长为 5． …10分
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．
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