题目内容
(2010•新疆模拟)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,C=2A,cosA=
.
(Ⅰ)求cosC,cosB的值;
(Ⅱ)若
•
=
,求边AC的长.
3 |
4 |
(Ⅰ)求cosC,cosB的值;
(Ⅱ)若
BA |
BC |
27 |
2 |
分析:(Ⅰ)由题意可得 cosC=cos2A,利用二倍角公式求出cosC=
,再由同角三角函数的基本关系求出sinC 和 sinA 的值,由cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC,
运算求得结果.
(Ⅱ)由
•
=
求得 ac=24,再由
=
,C=2A,可得 c=2acosA=
a,姐方程求得a、c的值,再利用余弦定理求出b 的值,即为所求.
1 |
8 |
运算求得结果.
(Ⅱ)由
BA |
BC |
27 |
2 |
a |
sinA |
c |
sinC |
3 |
2 |
解答:解:(Ⅰ)由题意可得 cosC=cos2A=2cos2A-1=
,…1分
故 sinC=
.…2分
由 cosA=
得 sinA=
.…3分
∴cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=
.…4分
(Ⅱ)∵
•
=
,
∴ac•cosB=
,ac=24.…6分
∵
=
,C=2A,
∴c=2acosA=
a,
解得 a=4,c=6,…8分
再由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accosB=25,故b=5.
即边AC的长为 5. …10分
1 |
8 |
故 sinC=
| ||
8 |
由 cosA=
3 |
4 |
| ||
4 |
∴cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=
9 |
16 |
(Ⅱ)∵
BA |
BC |
27 |
2 |
∴ac•cosB=
27 |
2 |
∵
a |
sinA |
c |
sinC |
∴c=2acosA=
3 |
2 |
解得 a=4,c=6,…8分
再由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accosB=25,故b=5.
即边AC的长为 5. …10分
点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,同角三角函数的基本关系,二倍角公式、诱导公式的应用,属于中档题.
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