题目内容
对于函数y=f（x），定义：若存在非零常数M、T，使函数f（x）对定义域内的任意实数x，都满足f（x+T）-f（x）=M，则称函数y=f（x）是准周期函数，常数T称为函数y=f（x）的一个准周期．如函数f（x）=x+（-1）x（x∈Z）是以T=2为一个准周期且M=2的准周期函数．
（1）试判断2π是否是函数f（x）=sinx的准周期，说明理由；
（2）证明函数f（x）=2x+sinx是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M的值；
（3）请你给出一个准周期函数（不同于题设和（2）中函数），指出它的一个准周期和一些性质，并画出它的大致图象．
（1）试判断2π是否是函数f（x）=sinx的准周期，说明理由；
（2）证明函数f（x）=2x+sinx是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M的值；
（3）请你给出一个准周期函数（不同于题设和（2）中函数），指出它的一个准周期和一些性质，并画出它的大致图象．
分析：（1）根据已知中准周期函数的定义，根据f（x）=sinx，结合正弦函数的周期性，我们可得f（x+2π）-f（x）=0恒成立，不满足准周期函数的定义，进而得到结论；
（2）令T=2π，结合函数f（x）=2x+sinx，我们易得f（x+2π）-f（x）=4π恒成立，结合已知中准周期函数的定义，即可得到函数f（x）=2x+sinx是准周期函数，进而求出它的一个准周期和相应的M的值；
（3）结合（2）中函数的特点，我们可得y=kx+b（k≠0），y=（kx+b）+Asin（ωx+φ），y=（kx+b）+Acos（ωx+φ），…，或其它一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合，均为准周期函数．
（2）令T=2π，结合函数f（x）=2x+sinx，我们易得f（x+2π）-f（x）=4π恒成立，结合已知中准周期函数的定义，即可得到函数f（x）=2x+sinx是准周期函数，进而求出它的一个准周期和相应的M的值；
（3）结合（2）中函数的特点，我们可得y=kx+b（k≠0），y=（kx+b）+Asin（ωx+φ），y=（kx+b）+Acos（ωx+φ），…，或其它一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合，均为准周期函数．
解答：解：（1）∵f（x）=sinx，
∴f（x+2π）-f（x）=sin（x+2π）-sinx=sinx-sinx=0，
∴2π不是函数f（x）=sinx的准周期．
证明：（2）∵f（x+2π）-f（x）=[2（x+2π）+sin（x+2π）]-（2x+sinx）=2x+4π+sinx-2x-sinx=4π（非零常数），
∴函数f（x）=sinx是准周期函数，T=2π是它的一个准周期，相应的M=4π．
解：（3）①写出一个不同于题设和（2）中函数，
如y=3x+sinx，y=2x+（-1）x，y=2x+3sinx，y=[x]等 得（1分）y=kx+b（k≠0），y=（kx+b）+Asin（ωx+φ），y=（kx+b）+Acos（ωx+φ），…，或其它一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合的具体形式，得（3分）
②指出所写出函数的一个准周期，得（2分）
③指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、…，
（写出一条得（1分），两条以上得（2分），可以不证明）
④画出其大致图象． 得（3分）
部分参考图象：
∴f（x+2π）-f（x）=sin（x+2π）-sinx=sinx-sinx=0，
∴2π不是函数f（x）=sinx的准周期．
证明：（2）∵f（x+2π）-f（x）=[2（x+2π）+sin（x+2π）]-（2x+sinx）=2x+4π+sinx-2x-sinx=4π（非零常数），
∴函数f（x）=sinx是准周期函数，T=2π是它的一个准周期，相应的M=4π．
解：（3）①写出一个不同于题设和（2）中函数，
如y=3x+sinx，y=2x+（-1）x，y=2x+3sinx，y=[x]等 得（1分）y=kx+b（k≠0），y=（kx+b）+Asin（ωx+φ），y=（kx+b）+Acos（ωx+φ），…，或其它一次函数（正比例函数）与周期函数的线性组合的具体形式，得（3分）
②指出所写出函数的一个准周期，得（2分）
③指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、…，
（写出一条得（1分），两条以上得（2分），可以不证明）
④画出其大致图象． 得（3分）
部分参考图象：
点评：本题考查的知识点是周期函数，其中正确理解已知中的新定义--准周期函数，熟练掌握三角函数的图象和性质，是解答本题的关键．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目