Question

（选做题）已知函数f（x）=|2x-1|+2，g（x）=-|x+2|+3．
（Ⅰ）解不等式：g（x）≥-2；
（Ⅱ）当x∈R时，f（x）-g（x）≥m+2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由g（x）=-|x+2|+3，g（x）≥-2，知|x+2|≤5，由此能求出不等式g（x）≥-2的解集．
（Ⅱ）由f（x）=|2x-1|+2，g（x）=-|x+2|+3，知f（x）-g（x）=|2x-1|+|x+2|-1，设h（x）=|2x-1|+|x+2|-1，则h(x)≥

3

2

．由当x∈R时，f（x）-g（x）≥m+2恒成立，知m+2≤

3

2

，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=-|x+2|+3，g（x）≥-2，
∴|x+2|≤5，
∴-5≤x+2≤5，
解得-7≤x≤3，
∴不等式g（x）≥-2的解集为{x|-7≤x≤3}．
（Ⅱ）∵f（x）=|2x-1|+2，g（x）=-|x+2|+3，
∴f（x）-g（x）=|2x-1|+|x+2|-1，
设h（x）=|2x-1|+|x+2|-1，
则h（x）=

-3x-2，x≤-2 -x+2，-2＜x＜ 1 2 3x，x≥ 1 2

，
∴h(x)≥

3

2

．
∵当x∈R时，f（x）-g（x）≥m+2恒成立，
∴m+2≤

3

2

，解得m≤-

1

2

，
所以，实数m的取值范围是（-∞，-

1

2

]．

点评：本题考查不等式的解法和求实数的取值范围，具体涉及到含绝对值不等式的性质、函数的恒成立问题，综合性强，难度大，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．